TRIGONOMETRÍA

¡Muy buenas a todos viajemáticos! Bienvenidos a una entrada más. En esta entrada vamos a mostraros una breve investigación sobre la trigonometría, que puede ser útil para ampliar vuestros conocimientos. Esperamos que os guste!!! 

INTRODUCCIÓN 

Para entender esta rama de las Matemáticas, hay que estudiar la Geometría de los triángulos, que se inicia, de manera muy elemental, en la Educación Primaria. Al final de esta etapa, el alumno debe conocer:

• Que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
• La fórmula de Euler para un poliedro.
• El teorema de Pitágoras en su forma más básica.
• Que dos rectas paralelas, cortadas por una transversal, determinan ángulos internos alternos iguales, y que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. 

Después, en el primer ciclo de la Eso se profundiza en el estudio y reconocimiento de la semejanza de triángulos. Por ello en 1º y 2º de la ESO, los Teoremas de Pitágoras, Tales, y el Teorema de la altura, se trabajarán como primera base de nuestro estudio.

La palabra TRIGONOMETRÍA está compuesta de dos griegas trigonon significa triángulo, y metron, medir. Relaciona los lados de un triángulo con sus ángulos.

TRI: Tres

GONO: Ángulo

METRÍA: Medida

Podemos decir que trigonometría etimológicamente «medición de los triángulos», es una parte de las Matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.

La historia de la trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de 4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas grabadas sobre arcilla lo testimonian. La unidad común de medida angular, el grado, se cree que se originó también con los babilonios. En general se supone que la división de un círculo en 360 partes se basaba en la cercanía de este número a la duración del año, los 365 días.

CONCEPTOS

Los conceptos que el docente tiene que conocer y dominar son los siguientes:

• TRIÁNGULO 

El triángulo es un polígono de tres lados que da origen a tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura más simple, después de la recta en la geometría. Como norma general un triángulo se representa con tres letras mayúsculas de los vértices (ABC).

De acuerdo a la longitud de sus lados, un triángulo puede clasificarse en equilátero, donde los tres lados del triángulo son iguales; en isósceles, el triángulo tiene dos lados iguales y uno desigual, y en escaleno, donde el triángulo tiene los tres lados desiguales.

También se pueden clasificar según la medida de sus ángulos, puede ser un acutángulo, donde los tres ángulos son agudos; es decir, ángulos menores que 90°. Si un triángulo presenta un ángulo recto o ángulo de 90° se dice que es rectángulo, y si presenta a uno de los tres ángulos como obtuso; es decir, un ángulo mayor que 90° se considera como obtusángulo.

Esta figura tiene como característica principal que la suma de sus tres ángulos siempre es igual a 180°. Si conocemos dos de ellos podemos calcular cuánto medirá el tercero.

El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente.

• ÁNGULO

Se denomina ángulo a la sección del plano que queda comprendida entre dos semirrectas que se que se originan en un mismo punto, y están colocadas en distintas direcciones. El punto en que se inician las semirrectas se denomina vértice del ángulo; en tanto que cada una de las semirrectas que lo delimitan, se denominan lados del ángulo.

Para medir ángulos se utilizan las siguientes medidas:

• Grado sexagesimal (°): Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
• Radián (rad): Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

La relación entre ángulos puede ser de:

• Ángulos complementarios: Son aquéllos cuya suma es 90º ó /2 radianes.
• Ángulos suplementarios: Son aquéllos cuya suma es 180° ó  radianes.

• FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una primera manera de definir las funciones trigonométricas es a partir de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es aquél que tiene un ángulo recto como uno de sus ángulos interiores. En este caso, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el tercer lado es la hipotenusa. Si uno toma un ángulo interior, que no sea el ángulo recto, entonces el cateto que forma dicho ángulo será el cateto adyacente, mientras que el otro será el cateto opuesto. Aquí podemos encontrar una explicación gráfica. 

Las funciones trigonométricas son el seno, sen; el coseno, cos, y la tangente, tan y se definen como:

• Seno

Se define la función seno (sen) de un ángulo como la proporción que existe entre el lado opuesto y la hipotenusa. Esta proporción se expresa como:

 

• Coseno

La función coseno (cos) se define como la proporción entre el lado adyacente y la hipotenusa. Esta función se expresa como:

  

• Tangente

La función tangente se define como la proporción entre el lado opuesto y el adyacente. Esta función se expresa como:

• EL NÚMERO PI

El número Pi es la relación que hay entre el perímetro de un círculo (llamado también su circunferencia) y su diámetro, es decir, se trata de una fracción, una división. Para cualquier circunferencia que midas, ya sea un hula hoop, un plato o una rueda de patinete, al dividir esos dos datos obtendrás el mismo resultado: PI que se escribe con la letra griega π .

Este es un número irracional, un número con infinitos decimales: ¡nunca termina y nunca se repite!

En realidad 3,14 es solo el principio, este número sigue y sigue: 3,14159265…

Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras; the other the division of a line into extreme and mean the golden ratio. - Johannes Kepler.

• TEOREMA DE PITÁGORAS

Dado un triángulo rectángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la longitud de sus catetos. 

• TEOREMA DE THALES

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Si dos rectas cualesquiera (m y n) son cortadas por una serie de rectas paralelas (r, s y t), los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas en la otra recta.

¿CÓMO PODEMOS APLICAR TODOS ESTOS ASPECTOS? ❓❓❓❓❓

Uno de los métodos que serán utilizados a la hora de impartir este temario, será el siguiente. Se trata del método ABP. Este se ha convertido en una de las metodologías activas más eficaz y cada vez más extendida en nuestro sistema educativo.

En la metodología ABP los alumnos llevan a cabo un proceso de investigación y creación que culmina con la respuesta a una pregunta, la resolución de un problema o la creación de un producto. Los proyectos han de planearse, diseñarse y llevarse a cabo con el fin de que el alumno pueda incorporar, de una manera factual, los contenidos y estándares de aprendizaje establecidos por la legislación educativa. La implementación del ABP permite que se puedan diseñar los temas e itinerarios de aprendizaje con mayor libertad, de forma que el producto final ya no es lo único importante, sino que también son relevantes el proceso de aprendizaje, la profundización y el desarrollo de las competencias clave.

Otro de los métodos que podemos utilizar tratando el tema de trigonometría es GeoGebra.

GeoGebra es un sistema de geometría dinámica creado en 2001 como trabajo de fin de máster en la Universidad de Salzburgo (Austria) y actualmente dirigido por Markus Hohenwarter. Este sistema informático tiene unas características que lo hacen especialmente atractivo para su uso en la educación secundaria:

1.       Es un software libre y gratuito, además está disponible para varios sistemas operativos lo que le hace accesible a toda la comunidad educativa.

2.      Es una herramienta diseñada específicamente para la enseñanza de la geometría en la educación secundaria, por lo tanto, orientada al uso de los alumnos de la educación secundaria. Su interfaz es sencilla y fácil de manejar y esto facilita la realización de actividades.

3.      Combina distintos elementos de Aritmética, Geometría, Álgebra, Análisis, Cálculo, Probabilidad y Estadística, además de Vista Gráfica y Vista Algebraica.

Además, GeoGebra permite que los alumnos puedan:

1.       Visualizar conceptos abstractos y relaciones entre objetos. A través de actividades con GeoGebra se pueden realizar construcciones que ayuden a visualizar los conceptos básicos de la trigonometría y sus propiedades tal y como son las razones trigonométricas.

2.      Representar gráficamente y relacionar. Hemos visto que uno de los problemas con los que se encuentran los alumnos es a la hora de las representaciones gráficas. Los recursos tradicionales (lápiz, papel, pizarra tradicional, etc.) muchas veces son limitados y no permiten proyectar al alumno impidiendo una buena comprensión. A través de las herramientas que ofrece GeoGebra se pueden dibujar distintas funciones trigonométricas, e incluso manipular con el cursor para ver su comportamiento con el cambio de valores.

3.      Experimentar con las matemáticas y ejemplos de uso. GeoGebra permite incluir imágenes reales y de esta manera analizar las relaciones trigonométricas que se puedan observar, por ejemplo, el plano de una cosa. Y con esta herramienta atendemos a la justificación de la trigonometría, a la experimentación y creatividad. Lo que supone un aliciente para los alumnos.

* A continuación, dejamos algunos vídeos que pueden ser interesantes para trabajar en el aula.

Como conclusión propia, queremos apuntar que:

En primer lugar, creemos que a pesar de que estos contenidos no se impartan en las aulas de Educación Primaria, los maestros debemos tener al menos una idea de algunos de estos conceptos. Por lo tanto, si un día un niño nos pregunta que qué es la trigonometría, sepamos explicar de alguna forma dicho concepto, sin entrar en pánico. Además, para ello sería muy útil disponer de diferentes recursos, métodos y materiales didácticos que puedan incluso manipular para un mejor aprendizaje.

          Los métodos que podemos utilizar en este temario serán varios, como el ABP y la Geogebra, que se han convertido unas de las metodologías activas más eficaces. Estas prácticas han de planearse para poder llevarse a cabo con el fin de que el alumno pueda cumplir con los objetivos y criterios del temario de trigonometría.