¡Muy buenas a todos viajemáticos! Bienvenidos a una entrada más. En esta entrada vamos a mostraros una breve investigación sobre la trigonometría, que puede ser útil para ampliar vuestros conocimientos. Esperamos que os guste!!!
¡Muy buenas a todos viajemáticos! Bienvenidos a una entrada más. En esta entrada vamos a mostraros una breve investigación sobre la trigonometría, que puede ser útil para ampliar vuestros conocimientos. Esperamos que os guste!!! INTRODUCCIÓN
Para entender esta rama
de las Matemáticas, hay que estudiar la Geometría de los triángulos, que se
inicia, de manera muy elemental, en la Educación Primaria. Al final de esta
etapa, el alumno debe conocer:
- Que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es 180º.
- La fórmula de Euler para un
poliedro.
- El teorema de Pitágoras en su
forma más básica.
- Que dos rectas paralelas, cortadas por una transversal, determinan ángulos internos alternos iguales, y que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Después, en el primer
ciclo de la Eso se profundiza en el estudio y reconocimiento de la semejanza de
triángulos. Por ello en 1º y 2º de la ESO, los Teoremas de Pitágoras, Tales, y
el Teorema de la altura, se trabajarán como primera base de nuestro estudio.
La palabra TRIGONOMETRÍA
está compuesta de dos griegas trigonon significa triángulo, y metron, medir.
Relaciona los lados de un triángulo con sus ángulos.
TRI: Tres
GONO: Ángulo
METRÍA: Medida
Podemos decir que trigonometría etimológicamente «medición de los
triángulos», es una parte de las Matemáticas que se encarga de calcular los
elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones
entre los ángulos y los lados de los triángulos.
La historia de la
trigonometría y de las funciones trigonométricas podría extenderse por más de
4000 años. Los babilonios determinaron aproximaciones de medidas de ángulos o
de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos. Varias tablas
grabadas sobre arcilla lo testimonian. La unidad común de medida angular, el
grado, se cree que se originó también con los babilonios. En general se supone
que la división de un círculo en 360 partes se basaba en la cercanía de este
número a la duración del año, los 365 días.
CONCEPTOS
Los conceptos que el docente tiene que conocer y
dominar son los siguientes:
- TRIÁNGULO
El triángulo es un polígono de tres lados que da
origen a tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura más simple, después de la recta en la geometría. Como norma general un triángulo se representa con tres letras
mayúsculas de los vértices (ABC).
De acuerdo a la longitud de sus lados, un triángulo
puede clasificarse en equilátero, donde los tres lados del triángulo son
iguales; en isósceles, el triángulo tiene dos lados iguales y uno desigual, y
en escaleno, donde el triángulo tiene los tres lados desiguales.
También se pueden clasificar según la medida de sus
ángulos, puede ser un acutángulo, donde los tres ángulos son agudos; es decir,
ángulos menores que 90°. Si un triángulo presenta un ángulo recto o ángulo de
90° se dice que es rectángulo, y si presenta a uno de los tres ángulos como obtuso; es decir, un ángulo mayor que 90° se considera como
obtusángulo.
Esta figura tiene como característica principal que la
suma de sus tres ángulos siempre es igual a 180°. Si conocemos dos de ellos
podemos calcular cuánto medirá el tercero.
El área de un triángulo es la mitad del producto de
una base por la altura correspondiente.
- ÁNGULO
Se denomina ángulo a la
sección del plano que queda comprendida entre dos semirrectas que se que se
originan en un mismo punto, y están colocadas en distintas direcciones. El
punto en que se inician las semirrectas se denomina vértice del ángulo; en
tanto que cada una de las semirrectas que lo delimitan, se denominan lados del
ángulo.
Para medir ángulos se utilizan las
siguientes medidas:
- Grado sexagesimal (°): Si se divide la circunferencia en 360 partes
iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un
ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos
('').
- Radián (rad): Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
La relación entre ángulos puede ser de:
- Ángulos complementarios: Son aquéllos cuya suma es 90º ó
/2 radianes. - Ángulos suplementarios: Son aquéllos cuya suma es 180° ó radianes.
- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Una primera manera de
definir las funciones trigonométricas es a partir de un triángulo rectángulo.
Un triángulo rectángulo es aquél que tiene un ángulo recto como uno de sus
ángulos interiores. En este caso, los lados que forman el ángulo recto se llaman
catetos, y el tercer lado es la hipotenusa. Si uno toma un ángulo interior, que
no sea el ángulo recto, entonces el cateto que forma dicho ángulo será el
cateto adyacente, mientras que el otro será el cateto opuesto. Aquí podemos
encontrar una explicación gráfica.
Las funciones
trigonométricas son el seno, sen; el coseno, cos, y la tangente, tan y se
definen como:
- Seno
Se define la función seno (sen) de un ángulo como la proporción que existe
entre el lado opuesto y la hipotenusa. Esta proporción se expresa como:
- Coseno
La función coseno (cos)
se define como la proporción entre el lado adyacente y la hipotenusa. Esta función se expresa como:
- Tangente
La
función tangente se define como la proporción entre el lado opuesto y el
adyacente. Esta función se expresa como:
- EL NÚMERO PI
El número Pi es la
relación que hay entre el perímetro de un círculo (llamado también su
circunferencia) y su diámetro, es decir, se trata de una fracción, una
división. Para cualquier circunferencia que midas, ya sea un hula hoop, un
plato o una rueda de patinete, al dividir esos dos datos obtendrás el mismo
resultado: PI que se escribe con la letra griega π .
Este es
un número irracional, un número con infinitos decimales: ¡nunca termina y nunca
se repite!
En
realidad 3,14 es solo el principio, este número sigue y sigue: 3,14159265…
Geometry
has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras; the other the
division of a line into extreme and mean the golden ratio. - Johannes Kepler.
- TEOREMA DE PITÁGORAS
Dado un triángulo
rectángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de su hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de la longitud de sus catetos.
- TEOREMA DE THALES
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales
y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno
de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea
paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Si dos rectas
cualesquiera (m y n) son cortadas por una serie de rectas
paralelas (r, s y t), los segmentos que se forman en una
de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas en la
otra recta.
¿CÓMO PODEMOS APLICAR TODOS ESTOS ASPECTOS? ❓❓❓❓❓
Uno de los métodos que serán
utilizados a la hora de impartir este temario, será el siguiente. Se trata del
método ABP. Este se ha convertido en una de las metodologías activas más eficaz
y cada vez más extendida en nuestro sistema educativo.
En la metodología ABP los alumnos
llevan a cabo un proceso de investigación y creación que culmina con la
respuesta a una pregunta, la resolución de un problema o la creación de un
producto. Los proyectos han de planearse, diseñarse y llevarse a cabo con el
fin de que el alumno pueda incorporar, de una manera factual, los contenidos y
estándares de aprendizaje establecidos por la legislación educativa. La
implementación del ABP permite que se puedan diseñar los temas e itinerarios de
aprendizaje con mayor libertad, de forma que el producto final ya no es lo
único importante, sino que también son relevantes el proceso de aprendizaje, la
profundización y el desarrollo de las competencias clave.
Otro de los métodos que podemos
utilizar tratando el tema de trigonometría es GeoGebra.
GeoGebra es un sistema de geometría dinámica creado en
2001 como trabajo de fin de máster en la Universidad de Salzburgo (Austria) y
actualmente dirigido por Markus Hohenwarter. Este sistema informático tiene
unas características que lo hacen especialmente atractivo para su uso en la
educación secundaria:
1.
Es un software libre y gratuito,
además está disponible para varios sistemas operativos lo que le hace accesible
a toda la comunidad educativa.
2.
Es una herramienta diseñada específicamente
para la enseñanza de la geometría en la educación secundaria, por lo tanto,
orientada al uso de los alumnos de la educación secundaria. Su interfaz es
sencilla y fácil de manejar y esto facilita la realización de actividades.
3.
Combina distintos elementos de Aritmética,
Geometría, Álgebra, Análisis, Cálculo, Probabilidad y Estadística, además de
Vista Gráfica y Vista Algebraica.
Además,
GeoGebra permite que los alumnos puedan:
1.
Visualizar conceptos abstractos y
relaciones entre objetos. A través de actividades con GeoGebra se pueden
realizar construcciones que ayuden a visualizar los conceptos básicos de la
trigonometría y sus propiedades tal y como son las razones trigonométricas.
2.
Representar gráficamente y relacionar.
Hemos visto que uno de los problemas con los que se encuentran los alumnos es a
la hora de las representaciones gráficas. Los recursos tradicionales (lápiz,
papel, pizarra tradicional, etc.) muchas veces son limitados y no permiten
proyectar al alumno impidiendo una buena comprensión. A través de las
herramientas que ofrece GeoGebra se pueden dibujar distintas funciones
trigonométricas, e incluso manipular con el cursor para ver su comportamiento
con el cambio de valores.
3.
Experimentar con las matemáticas y
ejemplos de uso. GeoGebra permite incluir imágenes reales y de esta manera
analizar las relaciones trigonométricas que se puedan observar, por ejemplo, el
plano de una cosa. Y con esta herramienta atendemos a la justificación de la
trigonometría, a la experimentación y creatividad. Lo que supone un aliciente
para los alumnos.
* A continuación, dejamos algunos vídeos que pueden ser interesantes para trabajar en el aula.
Como conclusión propia, queremos apuntar que:
En
primer lugar, creemos que a pesar de que estos contenidos no se impartan en las
aulas de Educación Primaria, los maestros debemos tener al menos una idea de
algunos de estos conceptos. Por lo tanto, si un día un niño nos pregunta que
qué es la trigonometría, sepamos explicar de alguna forma dicho concepto, sin
entrar en pánico. Además, para ello sería muy útil disponer de diferentes
recursos, métodos y materiales didácticos que puedan incluso manipular para un
mejor aprendizaje.
Los métodos que podemos utilizar en
este temario serán varios, como el ABP y la Geogebra, que se han convertido
unas de las metodologías activas más eficaces. Estas prácticas han de planearse
para poder llevarse a cabo con el fin de que el alumno pueda cumplir con los
objetivos y criterios del temario de trigonometría.
